Saturday, July 15, 2017

Contoh Formulasi Program Linear

Formulasi dan Bentuk Dasar Program Linear

Formulasi dan Bentuk Umum Program Linear

Tujuan dari penelitian operasional adalah mengatasi masalah yang berkaitan dengan penggunaan sumber daya yang terbatas. Pemecahan masalah dimulai dengan membangun model matematis sebagai representatif dari suatu sistem nyata. 

Tujuan pembuatan model ini adalah untuk memudahkan dan menganalisis prilaku sistem nyata dalam rangka memperbaiki kinerjanya. Kompleksitas sistem nyata yang terdiri dari banyak variabel menyulitkan si pengambil keputusan untuk membuat model. Biasanya didalam suatu sistem nyata terdapat beberapa variabel yang dominan. 

Oleh karena itu, representasi dari sistem nyata hanya akan mempertimbangkan elemen atau variabel yang mendominasi sistem nyata tersebut. Tahapan pembuatan model inilah yang disebut sebagai sebuah seni dalam riset operasi.

Dalam model program linear, dikenal dua macam fungsi yaitu : fungsi tujuan (objective function) dan fungsi-fungsi batasan (constraint function). 

Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. 

Sedangkan fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Setelah masalah diidentifikasi, tujuan atau sasaran yang ingin dicapai ditetapkan, maka langkah selanjutnya adalah formulasi model matematis yang meliputi 3 tahap berikut :
  1. Menentukan variabel keputusan (unsur-unsur dalam persoalan yang dapat dikendalikan) dan kemudian nyatakan dalam simbol matematis.
  2. Membentuk fungsi tujuan sebagai hubungan linear dari variabel keputusan.
  3. Menentukan semua kendala atau batasan masalah tersebut dan ekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan  yang merupakan hubungan linear dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya masalah tersebut.

Sebagai ilustrasi, berikut ini akan disajikan contoh kasus yang menunjukan langkah-langkah formulasi dalam model program linear.


Contoh Formulasi Program Linear

Sebuah perusahaan kecil memproduksi empat jenis produk yang berbeda, yang masing-masing membutuhkan tiga macam bahan baku yaitu bahan A, B, dan C. Produk tersebut dikerjakan lewat 2 proses pengerjaan manual yaitu proses I dan II. Setiap unit produk ke I membutuhkan 10 ons bahan A, 6 ons bahan B, dan 12 ons bahan C. Setiap unit produk II membutuhkan 8 ons bahan A, 10 ons bahan B, dan 9 ons bahan C. Setiap unit produk III membutuhkan 6 ons bahan A, 8 ons bahan B, dan 5 ons bahan C. Produk IV membutuhkan 9 ons bahan A, 5 ons bahan B, dan 6 ons bahan C. Akibat keterbatasan gudang dan dana yang ada, maka bahan baku yang disediakan  tiap minggu adalah 120 kg bahan A, 90 kg bahan B, dan 125 kg bahan C.

Setiap unit produk I membutuhkan waktu 4 jam pada proses I dan 2 jam proses II. Produk II setiap unit 3 jam pada proses I dan 4 jam proses II. Setiap unit produk III membutuhkan 2 jam proses I dan 3 jam proses II. Sedangkan produk IV setiap unitnya membutuhkan 6 jam proses I dan 5 jam proses II. Jumlah karyawan pada proses I sebanyak 10 orang, pada proses II sebanyak 12 orang. Perusahaan bekerja dengan 1 shift, mulai dari jam 08.00 sampai jam 16.00 dengan istirahat 1 jam mulai pukul 12.00-13.00, dan enam hari kerja dalam 1 minggu. Keuntungan per unit produk I,II,III,dan IV masing-masing sebesar Rp.2.000, Rp.1.900, Rp.1.600, dan Rp.2.100. Informasi dari bagian pemasaran menyatakan berapapun jumlah produk yang dibuat perusahaan akan terserap seluruhnya oleh pasar. Formulasikan masalah tersebut !

Penyelesaian :

Satuan bahan baku dibuat dalam satuan ons. Jumlah jam kerja karyawan per minggu pada proses I sebesar : 10 orang x 7 jam kerja per hari x 6 jumlah hari kerja dalam 1 minggu = 420, dan pada proses II sebesar 12 orang x 7 jam kerja per hari x 6 jumlah hari kerja dalam 1 minggu = 504. Persoalan diatas dapat ditabulasikan sebagai berikut :
Sumber DayaProduk IProduk IIProduk IIIProduk IVKapasitas
Bahan A108691200
Bahan B61085900
Bahan C129561250
Jam Proses I4326420
Jam Proses II2435504
Laba/unit2000190016002100

Perumusan persoalan tersebut sebagai berikut :

1. Variabel keputusan

Masalah tersebut terdiri dari 4 variabel yang menunjukan jumlah produk I, II, III, dan IV yang harus diproduksi oleh perusahaan. Jumlah tersebut dapat ditunjukan sebagai berikut :
X1 = jumlah produk I yang di buat
X2 = jumlah produk II yang di buat
X3 = jumlah produk III yang di buat
X4 = jumlah produk IV yang di buat

2. Fungsi tujuan

Tujuan masalah di atas adalah memaksumumkan keuntungan total. Keuntungan total adalah jumlah keuntungan yang diperoleh dari masing-masing produk. Keuntungan produk I adalah perkalian jumlah produk I dengan keuntungan per unit produk I. Begitupun keuntungan produk II adalah jumlah produk II dengan keuntungan per unit produk II, dan seterusnya. Sehingga fungsi tujuan masalah tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut :
Maks Z= 2000 X1 + 1900 X2 + 1600 X3 + 2100 X4

3. Fungsi kendala

Dalam masalah ini kendalanya adalah bahan baku A, B, dan C serta jam kerja pada proses I dan II. Untuk menghasilkan 1 unit produk I dibutuhkan 10 ons bahan A sehingga total bahan baku A yang dibutuhkan adalah 10 X1. Dengan cara yang sama produk II membutuhkan 8 X2, produk III sebanyak 6 X3, dan produk IV sebanyak 9 X4. Jumlah bahan baku A yang tersedia sebanyak 1200 ons (dari 120 kg menjadi ons). Penggunaan bahan baku ini bisa luwes, artinya bisa digunakan secara penuh atau sebagian saja, atau secara matematis di tulis dengan tanda "≤". Sehingga kendala bahan baku A dapat ditulis :
10 X1 + 8 X2 + 6 X3 + 9 X4  ≤  1200

Dan dengan cara yang sama kendala bahan baku B, C, jam kerja proses I dan II dapat ditulis sebagai berikut :
6 X1 + 10 X2 + 8 X3 + 5 X4 ≤ 900
12 X1 + 9 X2 + 5 X3 + 6 X4 ≤ 1250
4 X1 + 3 X2 + 2 X3 + 6 X4 ≤ 420
2 X1 + 4 X2 + 3 X3 + 5 X4 ≤ 504

4. Fungsi non-negativitas

Perlu diketahui bahwa masing-masing variabel perlu dibatasi hanya pada nilai positif, karena tidak mungkin menghasilkan produk dalam jumlah negatif. Kendala ini disebut kendala non-negativitas dan secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0

Umumnya masalah program linear mempunyai kendala non negatif. Namun pada kasus tertentu nilai negatif bisa saja terjadi jika variabel itu merupakan suatu tingkat seperti: tingkat pertumbuhan dan tingkat inflasi yang dapat naik dan turun, nilai negatif menunjukan penurunan.

Jadi masalah tersebut diatas dapat diformulasikan sebagai model matematis sebagai berikut :
Fungsi tujuan :
Maks Z= 2000 X1 + 1900 X2 + 1600 X3 + 2100 X4

Fungsi kendala :
10 X1 + 8 X2 + 6 X3 + 9 X4  ≤  1200
6 X1 + 10 X2 + 8 X3 + 5 X4 ≤ 900
12 X1 + 9 X2 + 5 X3 + 6 X4 ≤ 1250
4 X1 + 3 X2 + 2 X3 + 6 X4 ≤ 420
2 X1 + 4 X2 + 3 X3 + 5 X4 ≤ 504
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0

Setelah diformulasi, maka persamaan-persamaan yang didapat di atas dapat dimasukkan untuk perhitungan baik dengan metode grafik maupun metode simpleks. Untuk lebih jelas tentang teknik perhitunganya dapat dibaca di : Program Linear : Metode Grafik dan Simpleks

1 comment:

  1. Akaan lebih mudah pengerjaannya menggunakan software. Tapi memang sudah semestinya kita harus mengerti dasar perhitungannya. Terima kasih

    ReplyDelete


EmoticonEmoticon