Wednesday, July 12, 2017

Perubahan Pada Koefisien Tujuan dan Kendala Dalam Analisis Sensitivitas

Perubahan pada koefisien tujuan dan kendala analisis sensitivitas

Perubahan Pada Koefisien Tujuan


Perubahan pada koefsien tujuan pada variabel dasar (basis)

Diketahui : Fungsi tujuan : Maksimumkan Z = 800A + 400B + 600C
Basis Z A B C S1 S2 S3 Solusi
Z1 0384001602468.000
S10 00,6401 -0,40,04130
A0 10,0800 0,2-0,1210
C0 01,210 0 0,2100

Pada tabel simpleks optimal diatas, yang menjadi variabel dasar (basis) adalah variabel A dan C, sedangkan yang bukan merupakan variabel dasar (basis) adalah B, S1, S2, dan S3.

Besarnya koefisien tujuan untuk variabel basis adalah 800 dan 600. Apabila besarnya koefisien A (C1) dan C (C2) dinaikkan atau diturunkan dalam jumlah tertentu maka ada kemungkinan A atau C tidak menguntungkan untuk diproduksi.

Untuk itu pada bagian ini dianalisis seberapa besar kenaikan atau penurunan yang masih dapat ditolerir sehingga produk A dan C tetap diproduksi (dengan perubahan koefisien tujuan maka berpengaruh terhadap solusi optimal).

Urutan dalam variabel dasar pada tabel simpleks diatas adalah S1, A, dan C. Dengan demikian urutan itu menjadi dasar perhitungan untuk mencari besarnya perubahan pada koefisien tujuan.

Jika terjadi perubahan pada koefisien fungsi tujuan A :

Perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan vektor baris dengan vektor kolom pada variabel non-basis, hasil perkalian tersebut dikurangkan dengan koefisien non-basis tersebut. Angka yang berubah


Syarat tabel optimum adalah B ≥ 0, sehingga 0,08 C1 + 320 ≥ 0 atau C1 ≤ 4000




Dari hasil perhitungan diatas dapat disimpulkan bahwa tabel akan tetap optimum jika koefisien C1 berada dalam interval 0 ≤ C1 ≤ 1000. Tabel akan tetap optimum apabila koefisien C1 dinaikkan menjadi 1000 (dinaikkan 200) atau diturunkan menjadi 0 (diturunkan 800), akan tetapi tabel tidak lagi akan menjadi optimum apabila koefisien C1 dinaikkan melebihi 1000.

Contoh :
1. Koefisien C1 naik dari 800 menjadi 900





Kesimpulan :
Dari hasil perhitungan variabel non-basis seluruhnya menghasilkan angka positif atau ≥ 0, berarti tabel optimum tidak berubah (tetap). Dengan demikian besarnya nilai A = 10 dan C = 100 tidak berubah. Perubahan terjadi pada Z sebagai akibat perubahan koefisien C1 dari 800 ke 900. Nilai Z yang baru adalah :
Z = 900A + 400B + 600C
Z = 900(10) + 400(0) + 600(100)
Z = 69000

2. Koefisien C1 naik dari 800 menjadi 1100





Kesimpulan :
Dari hasil perhitungan variabel non-basis, pada variabel S3 didapatkan nilai negatif, dengan demikian tabel sudah tidak optimum lagi, oleh karena itu perlu dilakukan eksekusi pada kolom S3 tersebut. Besarnya variabel semua, yaitu A = 10 dan C = 100 juga mengalami perubahan.
BasisZABCS1S2S3SolusiIndeks
Z1

-12

S1000,6401-0,40,041303.250
A010,08000,2-0,1210-83,33
C001,21000,2100500
Setelah itu, lakukan penyelesaian dengan metode simpleks seperti yang sudah dibahas pada topik sebelumnya tentang : Pemecahan Program Linear Metode Simpleks.

Sehingga didapatkan tabel simpleks optimum yang baru:
BasisZABCS1S2S3Solusi
Z10480600220077.000
S1000,4-0,21-0,40110
A010,80,600,2070
S30065001500

Dari tabel simpleks optimal yang baru diatas terdapat perubahan variabel, sebelumnya A = 10 dan C = 100 menjadi A = 70 dan C = 0. Sementara itu nilai maksimum Z maksimum mengalami kenaikan semula Rp.68.000,- menjadi Rp.77.000,-

Jika terjadi perubahan pada koefisien fungsi tujuan C :

Caranya sama seseperti perubahan pada koefisien fungsi tujuan A, hanya saja, angka yang berubah adalah koefisien dari fungsi tujuan C.





Dari hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan bahwa tabel akan tetap optimum jika koefisien C3 berubah menjadi C3 ≥ 480. Tabel akan tetap optimum jika koefisien C3 berada dalam interval diatas, tetapi apabila C3 < 480 berarti tabel sudah tidak optimum lagi dan harus di eksekusi ulang.

Contoh :
1. Koefisien C3 berubah dari 600 menjadi 500





Kesimpulan :
Dari hasil perhitungan variabel non-basis seluruhnya menghasilkan angka positif berarti tabel optimum, jadi solusi optimum tidak berubah (tetap). Dengan demikian besarnya nilai A = 10 dan C = 100 (tidak berubah). Perubahan terjadi pada nilai Z sebagai akibat perubahan koefisien C3 dari 600 ke 500. Nilai Z yang baru adalah :
Z = 900A + 400B + 500C
Z = 900(10) + 400(0) + 500(100)
Z = 59000

2. Koefisien C3 turun dari 600 menjadi 450





Kesimpulan :
Dari hasil perhitungan variabel non-basis, pada variabel S3 terdapat nilai negatif, dengan demikian tabel sudah tidap optimum lagi, oleh karena itu perlu dilakukan eksekusi pada kolom S3 tersebut. Besarnya variabel semula, yaitu A = 10 dan C = 100 juga mengalami perubahan.
BasisZABCS1S2S3SolusiIndeks
Z1

-6

S1000,6401-0,40,041303.250
A010,08000,2-0,1210-83,33
C001,21000,2100500

Setelah itu dilakukan penyelesaian dengan metode simpleks seperti yang sudah dibahas pada topik sebelumnya tentang : Pemecahan Program Linear Metode Simpleks.

Sehingga didapatkan tabel simpleks optimum yang baru:
BasisZABCS1S2S3Solusi
Z10240300160056.000
S1000,4-0,21-0,40110
A010,80,600,2070
S30065001500

Dari tabel simpleks optimal yang baru di atas didapatkan perubahan variabel yang sebelumnya A = 10 dan C = 100 menjadi A = 70, dan C = 10. Sementara itu, nilai Z maksimum mengalami penurunan semula Rp.68.000,- menjadi Rp.56.000,-

Perubahan pada koefisien tujuan pada bukan variabel dasar (non-basis)

Pada tabel sebelum-sebelumnya, dapat dilihat bahwa A dan C adalah variabel basis, variabel non-basis di tabel tersebut adalah variabel B. Variabel non-basis biasanya memiliki keuntungan yang tidak ekonomis. Namun jika koefisien dari B dinaikkan dalam jumlah tertentu, maka ada kemungkinan variabel B akan diproduksi.


Dari hasil perhitungan di atas, diketahui apabila variabel B dinaikkan sampai dengan 4240, maka variabel B masih belum ekonomis untuk diproduksi (Tabel optimum tidak berubah). Tetapi, apabila dinaikkan diatas 4240 maka variabel ini akan ekonomis untuk diproduksi (tabel optimum akan berubah).

Contoh :
Koefisien B dinaikkan dari 400 ke 600


Kesimpulan :
Koefisien B bernilai positif, berarti tabel yang ada telah optimal atau perubahan pada variabel non-basis tidak mempengaruhi tabel optimum.

Koefisien B dinaikkan menjadi 4300
 


Kesimpulan :
Koefisien B bernilai negatif, jadi tabel sudah tidak optimum, maka itu diperlukanlah penyelesaian dengan melakukan eksekusi pada kolom variabel B dengan metode simpleks biasa. Untuk teknik pemecahanya dapat dipelajari di Pemecahan Program Linear Metode Simpleks.

BasisZABCS1S2S3SolusiIndeks
Z1-60



S1000,6401-0,40,04130203,13
A010,08000,2-0,1210125
C001,21000,210083,33

Dengan perhitungan metode simpleks, maka didapatkan tabel optimumnya adalah sebagai berikut :
BasisZABCS1S2S3Solusi
Z1002.9130160627360.983
S1000-0,531-0,4-0,0776,67
A010-0,0700,2-0,133,33
B0010,83000,1783,33

Dari tabel simpleks optimal diatas, maka dapat dilihat bahwa, jika koefisien B dinaikkan menjadi 4.300, maka nilai Z akan berubah. Dimana semula besarnya A = 10,  B = 0 dan C = 100 dengan nilai Z sebesar Rp.68.000,-. Berubah menjadi A = 3,33, B = 83,33 dan C = 0 sehingga didapatkan nilai Z sebesar Rp. 360.983,-

Perubahan pada koefisien tujuan dan pengaruhnya terhadap variabel dual

Sebelum lanjut ke topik ini, ada baiknya anda pelajari lebih lanjut tentang Teori dualitas. Seperti yang sudah dibahas sebelumnya bahwa perubahan pada koefisien tujuan baik basis atau non-basis dapat mempengaruhi besarnya variabel keputusan (Z) jika perubahan tersebut tidak sesuai dengan kondisi yang diisyaratkan. Berbeda pada variabel dual, dimana perubahan pada koefisien tujuan berpengaruh langsung terhadap perubahan variabel dual (walaupun perubahan tersebut masih dalam rentang yang diisyaratkan).  Nilai variabel dual dapat dicari dengan cara mengalikan koefisien variabel dasar dengan matriks kunci.

Contoh :
Misalnya jika koefisien A dinaikkan menjadi 900 dan C menjadi 500. Bedasarkan hasil perhitungan diatas diatas dimana :
A = C1 ≤ 1.000
C = C3 ≥ 480
Jadi, tabel optimum tidak akan berubah karena tidak perubahan masih dalam interval atau masih sesuai dengan syarat optimum. Hanya saja, berbeda dengan variabel dual-nya, variabel dual akan mengalami perubahan dimana :

Semula :

Nilai variabel dual semula Y1 = 0, Y2 = 160, dan Y3 = 24

Menjadi :
Dimana, nilai variabel dual menjadi Y1 = 0, Y2 = 180, dan Y3 = -8


Perubahan Pada Kendala


Perubahan pada pembatas kanan kendala

Perubahan pada pembatas kanan kendala, yang dimaksud pembatas kanan kendala adalah angka yang menunjukkan batas dari suatu persamaan, dan letaknya di bagian kanan, misalnya seperti contoh dibawah :

Kendala :
2A + 2B + C ≤ 250
5A + 4B + 3C ≤ 350
6B + 5C ≤ 500
A,B,C ≥ 0

Dimana yang warna hijau adalah pembatas kanan kendala. Jika terjadi perubahan pada pembatas kanan kendala maka akan berdampak pula pada nilai variabelnya dengan demikian nilai tujuan (Z) juga akan berubah. Untuk menghitung nilai Z nya dapat dilakukan dengan mengalikan matriks kunci dengan pembatas kanan kendala.

Untuk mengetahui seberapa besar perubahan pada suatu kendala tanpa mengubah solusi optimalnya dapat dilakukan dengan cara berikut :


Maka :
  1. 270 - 0,4Δ ≥ 0
    Δ ≤ 675
  2. 0,2Δ - 60 ≥ 0
    Δ ≥ 300
Dari hasil perhitungan diatas, maka dapat disimpulkan bahwa kendala ke-2 dapat berubah menjadi 300 ≤ Δ ≤ 675 yang tidak mengubah tebel optimum. Bedasarkan soal di atas dimana besarnya kendala ke-2 = 350, maka bedasarkan persamaan yang telah dicari, maka kendala ke-2 dapat dikurangi hingga 50 atau ditambah sampai dengan 325 agar tabel tetap optimum. Tetapi, jika kendala ke-2 dikurangi atau ditambah lebih dari interval yang ada, maka penyelesaian tersebut sudah tidak optimum lagi.

Contoh :
Jika kendala ke-2 berubah menjadi 400, maka nilai variabel yang baru adalah :


Dengan perubahan pada kendala ke-2 maka terjadi perubahan tingkat produksi menjadi A = 100, B = 20, dan C =100. Dengan demikian nilai Z meningkat pula dari yang sebelumnya Rp. 68.000,- menjadi :
Z = 800A + 400B + 600C
Z = 800 (110) + 400 (20) + 600 (100)
Z = 150.000

Kesimpulan :
Akibat dari kenaikan kendala pembatas ke-2 dari 350 menjadi 400, maka akan terjadi kenaikan Z menjadi Rp. 156.000,-.

Perubahan pada koefisien kendala

Yang dimaksud dengan koefisien kendala adalah angka-angka yang terletak pada suatu variabel. Dimana biasanya angka-angka ini terletak di sebelah kiri persamaan. Misalnya seperti contoh dibawah :

Z = 800A + 400B + 600C
Kendala :
2A + 2B + C ≤ 250
5A + 4B + 3≤ 350
6B + 5≤ 500
A,B,C ≥ 0

Apabila terjadi perubahan pada koefisien kendala, misalnya pada variabel B yang semula memiliki koefisien 2, 4, dan 6 berubah menjadi 3,5 dan 4. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memastikan apakah perubahan koefisien kendala tersebut berpengaruh terhadap hasil optimum atau tidak. Untuk mengujinya dapat dilakukan dengan mengubahnya ke bentuk dual.

Z = 800A + 400B + 600C
Kendala B berubah menjadi 3,5, dan 4 :
2A + 3B + C ≤ 250
5A + 5B + 3C ≤ 350
4B + 5C ≤ 500
A,B,C ≥ 0

W = 250 Y1 + 350 Y2 + 500 Y3
Bentuk dual :
2 Y1 + 5 Y2 ≥ 800
3 Y1 + 5 Y2 + 4 Y3 ≥ 400
Y1 + 3 Y2+ 5 Y3 ≥ 600

Untuk cara mengubah bentuk primal ke dual dapat dipelajari pada Teori Dualitas | Primal-Dual.

Dengan demikian, setelah diubah menjadi bentuk dual, maka persamaan B nya dalam bentuk dual menjadi : 3 Y1 + 5 Y2 + 4 Y3 ≥ 400. Lakukan pengujuan dengan subtitusi nilai variabel dual ke dalam persamaan B dalam bentuk dual. Seperti yang sudah dibahas sebelumnya dimana nilai variabel dualnya adalah :


Sehingga dapat dihitung nilai dualnya :
3 (0) + 5 (160) + 4 (24) - 400 = 496
Karena nilai dualnya bernilai positif, dapat disimpulkan bahwa perubahan koefisien kendala tidak berpengaruh terhadap hasil optimum.

Akan tetapi misalnya koefisien B berubah menjadi 3, 1, dan 9, maka nilai dualnya akan berubah menjadi :
3 (0) + 1 (160) + 9 (24) - 400 = -24
Berarti perubahan koefisien tujuan akan mengubah tabel optimum. Sehingga perlu dicari tabel optimum baru dimana angka-angka pada kolom B akan mengalami perubahan, dan setelah itu gunakan metode simpleks untuk membuat tabel tersebut optimum. Nilai kolom B dicari dengan mengalikan matriks kunci dengan koefisien kolom B baru.


BasisZABCS1S2S3SolusiIndeks
Z1-24



S1002,9601-0,40,0413043,92
A01-0,88000,2-0,1210-11,36
C001,81000,210055,55

Tabel optimalnya adalah :
BasisZABCS1S2S3Solusi
Z1000101522465.052
B00100,34-0,140,0143,92
A01000,30,08-0,1148,65
C0001-0,610,240,1820,94

Kesimpulan :
Perubahan koefisien kendala B menjadi 3, 1, 9 akan mengubah tabel optimum dan hasil optimum dimana sebelum perubahan koefisien kendala nilai optimumnya adalah Rp. 68.000,- menurun menjadi Rp 65.052,-

Daftar Isi Bab Analisis Sensitivitas :


EmoticonEmoticon