Wednesday, March 29, 2017

Pemecahan Program Linear Metode Grafik

Pemecahan Program Linear Metode Grafik
Metode grafik merupakan salah satu teknik pemecahan program linear baik dalam masalah maksimasi maupun minimasi untuk persamaan linear 2 variabel.

Metode grafik ini merupakan metode yang dianggap paling simpel karena perhitungannya yang cenderung mudah dibandingkan metode program linear lainya. Untuk lebih jelasnya tentang program linear dapat dilihat pada : Program Linear


Metode Grafik

Metode grafik dapat digunakan untuk pemecahan masalah program linear yang yang hanya memiliki 2 variabel.

Sesuai dengan namanya, pemecahan program linear ini dilakukan dengan membuat grafik dari persamaan program linear yang telah diformulasikan, sehingga akan didapatkan titik-titik dari perpotongan garis-garis dalam grafik tersebut untuk mengetahui outputnya.

Hanya saja, jika dalam suatu program linear terdapat lebih dari 2 variabel, misalnya X1, X2, dan X3. Maka metode grafik ini tidak dapat dipakai.

Oleh karena itu, diperlukan metode satu lagi yaitu metode simpleks yang efektif digunakan untuk menyelesaikan program linear yang memiliki 3 variabel atau lebih. Untuk lebih jelasnya tentang metode simpleks dapat dilihat pada :

Langkah-Langkah Pemecahan Dengan Metode Grafik

Langkah-langkah penyelesaian dengan metode grafik adalah sebagai berikut :
  1. Gambarkan garis-garis kendala pada sumbu koordinat. Anggap kendalanya sebagai suatu persamaan.
  2. Tentukan daerah dalam bidang koordinat yang memenuhi semua kendala (daerah feasible), kemudian tentukan semua titik daerah feasible tersebut.
  3. Hitung nilai fungsi tujuan untuk semua titik sudut daerah layak. Untuk keputusanya, pilih koordinat titik yang memberikan nilai terbesar untuk fungsi tujuan maksimasi, dan nilai fungsi terkecil untuk tujuan minimasi.


Contoh Metode Grafik

PT. Tatikucant memproduksi 2 macam produk yang dikerjakan secara manual. Setiap unit produk I memerlukan waktu 20 menit pada proses 2 dan 24 menit pada proses 3, sedangkan setiap unit produk II memerlukan waktu 15 menit pada proses 1, 16 menit proses 2, dan 30 menit proses 3. Produk I memberikan keuntungan sebesar Rp.170/unit dan Rp.190/unit untuk produk II. Jam kerja per hari yang tersedia untuk proses 1, 2, dan proses 3 masing-masing 1050 menit, 1600 menit, dan 2400 menit. Berapakah jumlah produk I dan II harus diproduksi agar keuntungan maksimal ?

Penyelesaian :

Persoalan tersebut dapat ditabulasikan sebagai berikut:
ProsesProduk IProduk IIKapasitas (menit)
1-151050
220161600
324302400
Keuntungan170190

  • Langkah 1 : Formulasikan
Untuk lebih jelas tentang cara mengformulasikan program linear dapat dibaca di : Formulasi Program Linear

Sehingga dari hasil formulasi didapatkan persamaan berikut :

Maksimumkan : Z = 170 X1 + 190 X2
Dengan kendala :
15 X2 ≤ 1050
20 X1 + 16 X2 ≤ 1600
24 X1 + 30 X2 ≤ 2400
X1, X2 ≥ 0

  • Langkah 2 : Buatlah grafiknya
Untuk menggambarkan grafiknya, cara paling mudah adalah dengan menemukan nilai suatu variabel saat variabel lain bernilai nol.

Maksudnya, kita membuat 2 titik pada sumbu X (dimana nilai Y = 0) dan di sumbu Y (dimana nilai X = 0) kemudian menghubungkan 2 titik tersebut dengan garis. Sehingga didapatkan persamaan garis lurus suatu kendala. Jika terdapat 3 kendala, maka otomatis akan terdapat 3 garis juga.

Jadi persamaan yang didapat adalah :
  • 15 X2 = 1050
    X2 = 70
  • 20 X1 + 16 X2 = 1600
    X1 = 0 ⇾ X2 = 100 → F(0,100)
    X2 = 0 ⇾ X1 = 80 → D(80,0)
  • 24 X1 + 30 X2 = 2400
    X1 = 0 ⇾ X2 = 80 → E(0,80)
    X2 = 0 ⇾ X1 = 100 → H(100,0)

Jadi jika dinyatakan dalam grafik adalah sebagai berikut :
grafik persamaan linear

Setelah didapatkan garis-garisnya, untuk mengetahui daerah mana yang diarsir dari suatu persamaan dapat dilihat dari tanda persamaan, seperti :
  • Tanda ≤ berarti bagian sebelah kiri dari persamaan garis yang diarsir.
  • Tanda ≥ berarti bagian sebelah kanan dari persamaan garis yang diarsir.
  • Tanda = berarti hanya pada bagian persamaan garis (hanya garis)

Daerah yang memenuhi persyaratan adalah daerah yang terarsir oleh semua kendala yang ada.

Bedasarkan persamaan-persamaan kendala diatas, daerah yang bersamaan memenuhi ketiga kendala ditunjukan oleh area gambar di atas yang di arsir yaitu O-ABCD. Bagian yang diarsir dinamakan daerah feasible. Bagian O-ABCD dinamakan daerah feasible karena memenuhi solusi dari semua pembatas yang ada.

  • Langkah 3 : Tentukan outputnya
Untuk mencari titik yang paling menguntungkan dari dearah feasible tersebut adalah titik yang terjauh dari sumbu O untuk masalah maksimasi. Sedangkan untuk kasus minimasi adalah yang paling dekat dengan titik sumbu O.

Pada gambar diatas sebagian titik koordinat dapat diketahui yaitu titik O(0;0), titik D(80;0), titik A(0;70). Sedangkan titik B dan titik C dapat dicari dengan mencari perpotongan antara 2 garis yang saling menyinggung dengan cara subtitusi maupun eliminasi.

Jadi koordinat dari titk B dapat didapat dengan mengsubtitusikan kendala (15 X2 = 1050) dengan kendala (20 X1 + 16 X2 = 1600) maka didapatkanlah koordinatnya adalah (12,5 ; 70).

Sedangkan untuk titik C dapat didapatkan dengan cara yang sama antara kendala (20 X1 + 16 X2 = 1600) dengan kendala (24 X1 + 30 X2 = 2400) maka didapatkanlah koordinatnya (400/9 ; 400/9).

Setelah itu lakukan pengujian dari semua koordinat di daerah feasible yang didapat ke persamaan tujuan seperti contoh di atas adalah (Z = 170 X1 + 190 X2) dan carilah hasil terbesar untuk masalah maksimasi dan hasil terkecil untuk masalah minimasi.

Karena dalam contoh diatas adalah kasus maksimasi, maka kita cari nilai Z terbesar sebagai outputnya. Sehingga didapatkan :

Titik A :
Z = 170 (0) + 190 (70) = 13.300

Titik D :
Z = 170 (80) + 190 (0) = 13.600

Titik B :
Z = 170 (12,5) + 190 (70) = 15.425

Titik C :
Z = 170 (400/9) + 190 (400/9) = 16.000

Dari hasil pengujian daerah feasible, maka yang memberikan nilai optimum adalah titik C. Jadi maksudnya jumlah produk 1 (X1) yang harus dibuat adalah 400/9 dan jumlah produk 2 (X2) yang harus dibuat adalah 400/9 agar produksi maksimal dengan nilai output sebesar 16.000


EmoticonEmoticon